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题目：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上定义。求证：对于任意 \( x > 0 \)，都有 \( f(x) > 2 \)。

证明：

首先，我们求出函数 \( f(x) \) 的导数：

\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x^2} \]

接下来，我们分析导数的符号：

1. 当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上单调递增。

2. 当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 上单调递减。

因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值。我们计算 \( f(1) \)：

\[ f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 \]

由于 \( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 上单调递减，在 \( (1, +\infty) \) 上单调递增，且 \( f(1) = 1 \)，所以对于任意 \( x > 0 \)，都有 \( f(x) > 1 \)。

现在，我们证明 \( f(x) > 2 \)。

由于 \( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 上单调递减，且 \( f(1) = 1 \)，所以对于 \( 0 < x < 1 \)，有 \( f(x) > 1 \)。

接下来，我们证明 \( f(x) > 2 \) 在 \( x > 1 \) 的情况下也成立。

我们考虑函数 \( g(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) - 2 \)，则 \( g'(x) = f'(x) \)。

由于 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上单调递增，所以 \( g(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上也单调递增。

我们计算 \( g(1) \)：

\[ g(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) - 2 = 1 - 2 = -1 \]

因此，当 \( x > 1 \) 时，\( g(x) > g(1) = -1 \)，即 \( f(x) > 2 \)。

综上所述，对于任意 \( x > 0 \)，都有 \( f(x) > 2 \)。证明完毕。

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